数列{an}中，a1=2，an+1=an2+1an，试证：2＜an＜2+1n．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}中，a1=2，an+1=an2+1an，试证：2＜an＜2+1n．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

数列{a_n}中，a1=2，an+1=

an

2

+

1

an

，试证：

2

＜an＜

2

+

1

n

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：∵a₁=2，an+1=0.5an+

1

an

，∴a_n＞0，
∵0.5a_n²-a_n+1a_n+1=0，由△=a_n+1²-2≥0，得an+1≤-

2

（舍去）或an+1≥

2

．
当n=1时，a1=2＜

2

+1；
当n=2时，a2=0.5a1+

1

a1

=

3

2

＜

2

+

1

2

．
假设当n=k（k∈N）时，ak＜

2

+

1

k

，
那么当n=k+1时，ak+1=0.5ak+

1

ak

，
∵0.5ak+

1

ak

≥

2

，当且仅当ak=

2

时等号成立，

2

≤ak＜

2

+

1

k

，
∴ak+1≤0.5(

2

+

1

k

) +

1

2

+

1

k

．
面用作商法比较0.5(

2

+

1

k

) +

1

2

+

1

k

和

2

+

1

k+1

的大小．
∵

0.5(

2

+

1

k

)+

1

2

+

1

k

2

+

1

k+1

=

4k2+2

2

k+1

2k(

2

k+1)

2

k+

2

+1

k-1

=

4k3+(4+2

2

)k2+(2

2

+1)k+1

4k3+4(1+

2

)k2+2(

2

+1) k

＜1，
∴0.5(

2

+

1

k

) +

1

2

+

1

k

＜

2

+

1

k+1

，
∴ak+1＜

2

+

1

k+1

，
即当n=k+1时，an＜

2

+

1

n

成立．
∴对于任意n∈N，

2

＜an＜

2

+

1

n

均成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}中，a1=2，an+1=an2+1an，试证：2＜an＜2+1n．”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

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