定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为nx1+x2+…+xn（n∈N*）．（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为12n+4，求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn=1，当n为偶数时，bn=2．-数学试题及答案

1、试题题目：定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为nx1+x2+…+xn（n∈N*）．（1）若数列{a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为

n

x1+x2+…+xn

（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}前n项的“倒平均数”为

1

2n+4

，求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：当n为奇数时，b_n=1，当n为偶数时，b_n=2．若T_n为{b_n}前n项的倒平均数，求

lim

n→∞

Tn；
（3）设函数f（x）=-x²+4x，对（1）中的数列{a_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．

试题来源：嘉定区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
由题意，Tn=

n

Sn

=

1

2n+4

，
所以Sn=2n2+4n． …（1分）
所以a₁=S₁=6，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，
而a₁也满足此式．…（2分）
所以{a_n}的通项公式为a_n=4n+2．…（1分）
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，则当n为偶数时，Sn=

3n

2

，…（1分）
当n为奇数时，Sn=

3(n-1)

2

+1=

3n-1

2

． …（1分）
所以Tn=

2

3

，n为奇数

2n

3n-1

，n为偶数

． …（3分）
所以

lim

n→∞

Tn=

2

3

． …（2分）
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立，
则-x²+4x≤

4n+2

n+1

对任意n∈N^*恒成立，…（1分）
令cn=

4n+2

n+1

，因为cn+1-cn=

2

(n+1)(n+2)

＞0，
所以数列{c_n}是递增数列，…（1分）
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．…（2分）
所以存在最大的实数λ=1，
使得当x≤λ时，f（x）≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立．（2分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为nx1+x2+…+xn（n∈N*）．（1）若数列{a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：