数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=13an+2n+53(n∈N+)．（1）若等差数列{bn}恰好使数列{an+bn}成公比为13的等比数列，求通项bn（2）求通项an（3）求limn→∞Snn2的值．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=13an+2n+53(n∈N+)．（1）若等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=2，an+1=

1

3

an+2n+

5

3

(n∈N+)．
（1）若等差数列{b_n}恰好使数列{a_n+b_n}成公比为

1

3

的等比数列，求通项b_n
（2）求通项a_n
（3）求

lim

n→∞

Sn

n2

的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为a1=2，an+1=

1

3

an+2n+

5

3

(n∈N+)，
所以an+1-3(n+1)+2=

1

3

(an-3n+2)，(n∈N+)，
所以数列{a_n-3n+2}以1为首项，

1

3

为公比的等比数列，
所以b_n=-3n+2时，等差数列{b_n}恰好使数列{a_n+b_n}成公比为

1

3

的等比数列．
（2）由（1）可知数列{a_n-3n+2}以1为首项，

1

3

为公比的等比数列，
所以a_n-3n+2=（

1

3

）^n-1，所以a_n=（

1

3

）^n-1+3n-2
（3）由（2）可知，数列{a_n}的前n项和为：
Sn=

1-(

1

3

)n

1-

1

3

+

3n(1+n)

2

-2n=

3

2

-

3

2

(

1

3

)n+

3n(1+n)

2

-2n；
∴

lim

n→∞

Sn

n2

=

lim

n→∞

3

2

-

3

2

(

1

3

)n+

3n(1+n)

2

-2n

n2

=

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=13an+2n+53(n∈N+)．（1）若等..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：