数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1=12(xn+axn)，n∈N．（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥a；（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥xn+1；（Ⅲ）若数列{xn}的极限存在，且大于零，求limn→∞xn的值．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1=12(xn+axn)，n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

数列{x_n}由下列条件确定：x₁=a＞0，x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，n∈N．
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有x_n≥

a

；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有x_n≥x_n+1；
（Ⅲ）若数列{x_n}的极限存在，且大于零，求

lim

n→∞

x_n的值．

试题来源：北京试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）由x₁=a＞0，及x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，
可归纳证明x_n＞0．
从而有x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)≥

xn?

a

xn

=

a

（n∈N），
所以，当n≥2时，x_n≥

a

成立．
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，
因为x_n≥

a

＞0，x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)
所以x_n+1-x_n=

1

2

(xn+

a

xn

)-xn=

1

2

?

a-

x

2n

xn

≤0，
故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
证法二：当n≥2时，因为x_n≥

a

＞0，x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，
所以

xn+1

xn

=

1

2

(xn+

a

xn

)

xn

=

x

2n

+a

2

x

2n

≤

x

2n

+

x

2n

2

x

2n

=1，
故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
（Ⅲ）记_lim
n→∞x_n=A，则_lim
n→∞x_n+1=A，且A＞0．
由x_n+1=

1

2

(xn+

a

xn

)，得A=

1

2

(A+

a

A

)．
由A＞0，解得A=

a

，故

lim

n→∞

x_n=

a

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1=12(xn+axn)，n..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

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