在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，…，则称{an}为“绝对差数列”．（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，则称{a_n}为“绝对差数列”．
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．

试题来源：北京试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1．（答案不惟一）
（Ⅱ）因为在绝对差数列{a_n}中a₂₀=3，a₂₁=0．所以自第20项开始，该数列是a₂₀=3，a₂₁=0，a₂₂=3，a₂₂=3，a₂₄=0，a₂₅=3，a₂₆=3，a₂₇=o，
即自第20项开始．每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n→∞时，a_n的极限不存在．
当n≥20时，b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6，
所以

lim

n→∞

bn=6
（Ⅲ）证明：根据定义，数列{a_n}必在有限项后出现零项．证明如下：
假设{a_n}中没有零项，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，
所以对于任意的n，都有a_n≥1，从而
当a_n-1＞a_n-2时，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1（n≥3）；
当a_n-1＜a_n-2时，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1（n≥3）
即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1．
令Cn=

a2n-1(a2n-1＞a2n)

a2n(a2n-1＜a2n)

n=1，2，3，，
则0＜C_A≤C_n-1-1（n=2，3，4，）．
由于C₁是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项C₁＜0，这与C_n＞0（n=1，2，3，，）
矛盾．
从而{a_n}必有零项．
若第一次出现的零项为第n项，记a_n-1=A（A≠0），
则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，
即

an+3k=0

an+3k+1=A，k=0，1，2，3

an+3k+2=A

所以绝对差数列{a_n}中有无穷多个为零的项．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

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