已知各项均不相等的正项数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．（1）若{an}，{bn}为等差数列，求证：limn→∞anbn=limn→∞SnTn．（2）将（1）中的数列{an}，{bn}均换作等比数列，请给出使-数学试题及答案

1、试题题目：已知各项均不相等的正项数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知各项均不相等的正项数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若{a_n}，{b_n}为等差数列，求证：

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

Sn

Tn

．
（2）将（1）中的数列{a_n}，{b_n}均换作等比数列，请给出使

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

Sn

Tn

成立的条件．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：设{a_n}，{b_n}的公差分别为d₁，d₂（d₁，d₂均不为0），则

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

a1+(n-1)d1

b1+(n-1)d2

=

d1

d2

，…（4分）

lim

x→∞

Sn

Tn

lim

x→∞

na1+

n(n-1)

2

d1

nb1+

n(n-1)

2

d2

=

d1

d2

，
所以

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

Sn

Tn

．…（8分）
（2）设{a_n}，{b_n}的公比分别为q₁，q₂（q₁，q₂均为不等于1的正数），则

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

a1q1n-1

b1q2n-1

=

a1

b1

lim

n→∞

(

q1

q2

)n-1=

a1

b1

(q1=q2)

0(q1＜q2).

…（11分）

lim

n→∞

Sn

Tn

=

a1(1-q2)

b1(1-q1)

lim

n→∞

1-q1n

1-q2n

=

a1

b1

(q1=q2)

a1(1-q2)

b1(1-q1)

(0＜q1＜1，0＜q2＜1)

0(0＜q1＜q2，q2＞1).

…（14分）
所以使

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

Sn

Tn

成立的条件是0＜q₁＜q₂，q₂＞1或q₁=q₂．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知各项均不相等的正项数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：