已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．（1）若f(x)=-x2+asinx，在[π2，π]（[π2，π]?D）上的最大值为1-π4，试求不等式|ax+1|＜a的解集．（2）若对于定义域中任意的x1，x2，存-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．（1）若f(x)=-x2+as..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．
（1）若f(x)=-

x

2

+asinx，在[

π

2

，π]（[

π

2

，π]?D）上的最大值为

1-π

4

，试求不等式|ax+1|＜a的解集．
（2）若对于定义域中任意的x₁，x₂，存在正数ε，使|x₁-1|＜

ε

2

且|x₂-1|＜

ε

2

，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜ε．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由于f′（x）＜0，则函数f（x）在[

π

2

，π]上单调递减，
故fmax(x)=f(

π

2

)=-

π

2

+asin

π

2

=

1-π

4

，解得a=

1

4

则原不等式为|

1

4

x+1|＜

1

4

，解之得-5＜x＜-3
故原不等式的解集为（-5，-3）；
（2）不妨设x₁＜x₂，令g（x）=f（x）+x
由于f′（x）＞-1，故g′（x）=f′（x）+1＞0，则函数g（x）为其定义域上的增函数，
即g(x1)＜g(x2 )，亦即f(x1)+x1＜f(x2 )+x2 ，
则f(x1)-f(x2 )＜x2-x1
又由函数f（x）在D上递减，则f(x1)＞f(x2 )
故|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |
∵|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |=|(x2-1)-(x1 -1)|≤|x2-1|-|x1 -1|＜

?

2

+

?

2

=?
∴|f(x1)-f(x2 )|＜?

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．（1）若f(x)=-x2+as..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：