已知函数y=f（x），x∈R满足f（x）=af（x-1），a是不为0的实常数．（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；（2）若当0≤x＜1时，f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[n，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f（x），x∈R满足f（x）=af（x-1），a是不为0的实常数．（1）若当..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数y=f（x），x∈R满足f（x）=af（x-1），a是不为0的实常数．
（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；
（2）若当0≤x＜1时，f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；
（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3^x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

，x∈[0，1]，∴f(x)∈[0，

1

4

]．
（2）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时．，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）．
（3）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n）
∴f_n（x）=aⁿ?3^x-n
显然f_n（x）=aⁿ?3^x-n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z，
当a＞0 时是增函数，此时∴f_n（x）∈[aⁿ，3aⁿ]
若函数y=f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，则必有aⁿ⁺¹≥3aⁿ，解得a≥3；
当a＜0时，函数y=f（x）在区间[0，∞）上不是单调函数；
所以a≥3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f（x），x∈R满足f（x）=af（x-1），a是不为0的实常数．（1）若当..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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