已知f（x）=2x-ax2+2(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数．（1）求实数a的值所组成的集合A；（2）设关于x的方程f（x）=1x的两个根为x1、x2，若对任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式m2+tm+1≥|x1-x2|-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=2x-ax2+2(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数．（1）求实数a的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知f（x）=

2x-a

x2+2

(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数．
（1）求实数a的值所组成的集合A；
（2）设关于x的方程f（x）=

1

x

的两个根为x₁、x₂，若对任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′（x）=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，
∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．
设φ（x）=x²-ax-2，则问题等价于

φ(1)=1-a-2≤0

φ(-1)=1+a-2≤0

?-1≤a≤1，
∴A=[-1，1]．
（2）由

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，△=a²+8＞0，
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两非零实根，
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，从而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

，
∵-1≤a≤1，
∴|x₁-x₂|=

a2+8

≤3．
∴不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立
?m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立
?m²+tm-2≥0≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．
设g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），则问题又等价于

g(-1)=m2-m-2≥0

g(1)=m2+m-2≥0

?m≤-2，
∴m≥2，即m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=2x-ax2+2(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数．（1）求实数a的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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