已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）（1）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数数；（2）若f（13）=-1，求满足不等式f（x）-f（1x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）
（1）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数数；
（2）若f（

1

3

）=-1，求满足不等式f（x）-f（

1

x-2

）＞2的x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x?y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则

x2

x1

＞1，
∴f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（

x2

x1

?x₁）=f（x₁）-f（

x2

x1

）-f（x₁）=-f（

x2

x1

）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）令x=

1

3

，y=1得，f（

1

3

×1）=f（

1

3

）+f（1），∴f（1）=0．
令x=3，y=

1

3

得，f（1）=f（3×

1

3

）=f（3）+f（

1

3

），
∵f（

1

3

）=-1，∴f（3）=1．
令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）-f（

1

x-2

）＞f（9），f（x）＞f（

9

x-2

）
∴

x＞0

x-2＞0

x(x-2)＞9

，
解得x＞1+

10

．
∴x的取值范围为（1+

10

，+∞）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：