已知α，β≠π2+kπ（k∈Z）且sinα是sinθ、cosθ的等差中项，sinβ是sinθ、cosθ的等比中项．求证：1-tan2α1+tan2α=1-tan2β2(1+tan2β)．-数学试题及答案

1、试题题目：已知α，β≠π2+kπ（k∈Z）且sinα是sinθ、cosθ的等差中项，sinβ是sinθ、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-08 07:30:00

试题原文

已知α，β≠

π

2

+kπ（k∈Z）且sinα是sinθ、cosθ的等差中项，sinβ是sinθ、cosθ的等比中项．求证：

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2β

2(1+tan2β)

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：由题意，sinθ+cosθ=2sinα ①，sinθ?cosθ=sin²β ②，…（2分）
①²-2×②消去θ得4sin²α-2sin²β=1③．…（5分）
另一方面，要证

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2β

2(1+tan2β)

，即证

1-

sin2α

cos2α

1+

sin2α

cos2α

=

1-

sin2β

cos2β

2(1+

sin2β

cos2β

)

…（7分）
即证cos²α-sin²α=

1

2

（cos²β-sin²β） …（9分）
即证1-2sin²α=

1

2

（1-2sin²β） …（11分）
亦即证4sin²α-2sin²β=1，而此式在③已证，故原等式成立．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知α，β≠π2+kπ（k∈Z）且sinα是sinθ、cosθ的等差中项，sinβ是sinθ、..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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