已知α为锐角，向量a=（sinα，cosα），b=（cos2α，sin2α），且a⊥b（1）求α的值．（2）若x=23a+2b，y=2a+23b，求向量x与y的夹角的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知α为锐角，向量a=（sinα，cosα），b=（cos2α，sin2α），且a⊥b（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-08 07:30:00

试题原文

已知α为锐角，向量

a

=（sinα，cosα），

b

=（cos2α，sin2α），且

a

⊥

b

（1）求α的值．
（2）若

x

=2

3

a

+2

b

，

y

=2

a

+2

3

b

，求向量

x

与

y

的夹角的余弦值．

试题来源：山东模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

a

⊥

b

，

a

=（sinα，cosα），

b

=（cos2α，sin2α），
∴

a

?

b

=sinαcos2α+cosαsin2α=0，即sin3α=0
∵α为锐角，得3α∈（0，

3π

2

）
∴3α=π，可得α=

π

3

（2）∵α=

π

3

，得

a

=（sinα，cosα）=（

3

2

，

1

2

），

b

=（cos2α，sin2α）=（-

1

2

，

3

2

），
∴|

a

|=|

b

|=1，且

a

?

b

=0
因此，

x

?

y

=（2

3

a

+2

b

）（2

a

+2

3

b

）
=4

3

a

2+16

a

?

b

+4

3

b

2=8

3

而且|

x

|=

(2

3

a

+2

b

)2

=4，|

b

|=

(2

a

+2

3

b

)2

=4
设向量

x

与

y

的夹角为θ，可得cosθ=

x

?

y

|

x

|?|

y

|

=

8

3

4×4

=

3

2

即向量

x

与

y

的夹角的余弦值为

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知α为锐角，向量a=（sinα，cosα），b=（cos2α，sin2α），且a⊥b（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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