给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2﹣mf（x），，已知g（x）在x=1处取极值．（1）求m的值及函数h（x）的单调区间；（2）求证：当x∈（1，e2）时，恒有＞x成立．-数学试题及答案

1、试题题目：给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2﹣mf（x），，已知..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-15 07:30:00

试题原文

给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²﹣mf（x），

，已知g（x）在x=1处取极值．
（1）求m的值及函数h（x）的单调区间；
（2）求证：当x∈（1，e²）时，恒有

＞x成立．

试题来源：重庆市期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：综合法与分析法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由题设g（x）=x²﹣mlnx，则

，
由已知g′（1）=0，即2﹣m=0，则m=2，
于是

，则

，
当

＞0时，x＞1，
当

＜0时，0＜x＜1，
∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（2）当x∈（1，e²）时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，
欲证

，只需证x[2﹣f（x）]＜2+f（x），
即证f（x）

．
设F（x）=f（x）﹣

=lnx﹣

，
则

=

，
当1＜x＜e²时，F′（x）＞0，
∴F（x）在区间（1，e²）上为增函数，
从而当x∈（1，e²）时，F（x）＞F（1）=0，
即f（x）＞

，
故

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2﹣mf（x），，已知..”的主要目的是检查您对于考点“高中综合法与分析法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中综合法与分析法证明不等式”。

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