过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点．（1）求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小（2）求四边形ACBD的面积的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-11 07:30:00

试题原文

过抛物线y²=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点．
（1）求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小
（2）求四边形ACBD的面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：简单曲线的极坐标方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，
则抛物线的极坐标方程可写为ρ=

2

1-cosθ

…3’
设A（ρ₁，θ），则B（ρ₂，π+θ）
∴|AB|=ρ1+ρ2=

2

1-cosθ

+

2

1-cos(π+θ)

=

4

sin2θ

…2’
同理|CD|=

4

sin2(θ+

π

2

)

=

4

cos2θ

…2’
∴|AB|+|CD|=

4

sin2θ

+

4

cos2θ

=

4

sin2θcos2θ

=

16

sin22θ

…2’
故当θ=

π

4

时，|AB|+|CD|取最小值16，此时AB、CD的倾斜角分别为

π

4

，

3π

4

．
（2）SABCD=

1

2

|AB|．|CD|=

8

sin2θcos2θ

=

32

sin22θ

…2’
易知：当θ=

π

4

时，（S_ABCD）_min=32
注：若以直角坐标系求解可同样给分…4’

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B..”的主要目的是检查您对于考点“高中简单曲线的极坐标方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中简单曲线的极坐标方程”。

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