设抛物线C：y=x2-2m2x-（2m2+1）（m∈R），（1）求证：抛物线C恒过x轴上一定点M；（2）若抛物线与x轴的正半轴交于点N，与y轴交于点P，求证：PN的斜率为定值；（3）当m为何值时，△PMN的面积-数学试题及答案

1、试题题目：设抛物线C：y=x2-2m2x-（2m2+1）（m∈R），（1）求证：抛物线C恒过x轴上一..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

设抛物线C：y=x²-2m²x-（2m²+1）（m∈R），
（1）求证：抛物线C恒过x轴上一定点M；
（2）若抛物线与x轴的正半轴交于点N，与y轴交于点P，求证：PN的斜率为定值；
（3）当m为何值时，△PMN的面积最小？并求此最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与抛物线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由y=x²-2m²x-（2m²+1）得
y=x²-2m²（x-1）-1
令x-1=0，即x=1，则无论m为何值，总有y=1²-0-1=0．即抛物线恒过（1，0）．
（2）令y=0，有[x-（2m²+1）]（x+1）=0，解得x=2m²+1或x=-1，由于-1＜0，故n点坐标为（2m²+1，0）．
令x=0，得y=-（2m²+1），即p点坐标为（0，-（2m²+1））．
故pn的斜率=

-(2m2+1)-0

0-(2m 2+1)

=1为定值．
（3）依题得mn为三角形PMN的底，P点纵坐标的长度为三角形PMN的高．且
mn=2m²+1-1=2m²p点纵坐标的长度=2m²+1
故S_△PMN=

1

2

?2m²?（2m²+1）=2m⁴+m²，故当m=0时，三角形PMN面积有最小值0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设抛物线C：y=x2-2m2x-（2m2+1）（m∈R），（1）求证：抛物线C恒过x轴上一..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与抛物线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与抛物线的应用”。

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