给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．（Ⅰ）设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小；（Ⅱ）设FB=λAF，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．-数学试题及答案

1、试题题目：给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．
（Ⅰ）设l的斜率为1，求

OA

与

OB

夹角的大小；
（Ⅱ）设

FB

=λ

AF

，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

试题来源：黑龙江试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与抛物线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1．
将y=x-1代入方程y²=4x，并整理得x²-6x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，

OA

?

OB

=（x₁，y₁）?（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-3.|

OA

|?|

OB

|=

x

21

+

y

21

?

x

22

+

y

22

=

x1x2[x1x2+4(x1+x2)+16]

=

41

cos＜

OA

，

OB

＞=

OA

?

OB

|

OA

|?|

OB

|

=-

3

41

.
所以

OA

与

OB

夹角的大小为π-arccos

3

41

．
（II）由题设知

FB

=λ

AF

得：（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），即

x2-1=λ(1-x1)(1)

y2=-λy1(2)

由（2）得y₂²=λ²y₁²，∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴x₂=λ²x₁（3）
联立（1）（3）解得x₂=λ．依题意有λ＞0．
∴B（λ，2

λ

）或B（λ，-2

λ

），又F（1，0），
得直线l的方程为（λ-1）y=2

λ

（x-1）或（λ-1）y=-2

λ

（x-1）
当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为

2

λ

λ-1

或-

2

λ

λ-1

由

2

λ

λ-1

=

2

λ

+1

+

2

λ-1

，可知

2

λ

λ-1

在[4，9]上是递减的，
∴

3

4

≤

2

λ

λ-1

≤

4

3

，-

4

3

≤-

2

λ

λ-1

≤-

3

4

直线l在y轴上截距的变化范围是[-

4

3

，-

3

4

]∪[

3

4

，

4

3

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与抛物线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与抛物线的应用”。

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