如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，O为BC的中点，AO∥面EFD，(Ⅰ)求BD的长；(Ⅱ)求证：面EFD⊥面BCED；(Ⅲ)-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，O为BC的中点，AO∥面EFD，
(Ⅰ)求BD的长；
(Ⅱ)求证：面EFD⊥面BCED；
(Ⅲ)求平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值．

试题来源：山东省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面平行的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）取ED的中点P，连接PO，PF，
则PO为梯形BCED的中位线，

，
又

，
所以PO∥AF，所以A，O，P，F四点共面。
因为AO∥面EFD，且面AOPF∩面EFD=PF，
所以AO∥PF，
所以四边形AOPF为平行四边形，PO=AF=2，
所以BD=1。
（Ⅱ）由题意可知平面ABC⊥面BCED；
又AO⊥BC且

平面ABC，
所以AO⊥面BCED，
因为AO∥PF，
所以PF⊥面BCED，
又

面EFD，
所以面EFD⊥面BCED；
（Ⅲ）以O为原点，OC，OA，OP所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，

，
设Q为AC的中点，则

，
易证：BQ⊥平面ACEF，平面ACEF的法向量为

，
设平面DEF的法向量为

，

，
由

得

，所以

，
所以

，
所以平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面平行的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面平行的判定与性质”。

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