如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥A′-BCD，A′F垂直BD于F，E为BC的中点，(Ⅰ)求证：EF∥平面A′CD；(Ⅱ)求直线A′E与平面BCD所成角的余弦值；(Ⅲ)二面角-数学试题及答案

1、试题题目：如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥A′-BCD，A′F垂直BD于F，E为BC的中点，
(Ⅰ)求证：EF∥平面A′CD；
(Ⅱ)求直线A′E与平面BCD所成角的余弦值；
(Ⅲ)二面角B-A′C-D的余弦值．

试题来源：陕西省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面平行的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

(Ⅰ)根据题意，有平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD于F，A′D= A′B， ∴F为BD的中点，又E为BC的中点， ∴EF∥CD， ∴EF∥平面A′CD。 (Ⅱ)∵平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD， ∴A′F⊥平面BCD， ∴∠A′EF为直线A′E与平面BCD所成的角，设正方形ABCD边长为a，则， ∴， ∴直线A′E与平面BCD所成角的余弦值为。
(Ⅲ)连结FC，有，∴， ∴A′B=BC=A′C=A′D=CD=a，取A′C的中点为M，则BM⊥A′C，DM⊥A′C， ∴∠BMD为二面角B-A′C-D的平面角， ∵△A′BC和△A′DC都为正三角形， ∴， ∴， ∴二面角B-A′C-D的余弦值为。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥A..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面平行的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面平行的判定与性质”。

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