设函数f(x)=2xx+1，且a1=12，an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．（I）计算a2，a3，a4的值；（II）猜想数列{an}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=2xx+1，且a1=12，an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．（I）计..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

2x

x+1

，且a1=

1

2

， an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a₂，a₃，a₄的值；
（II）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意，得a_n+1=

2an

an+1

，（1分）
因为a₁=

1

2

，
所以a₂=

2

3

，a₃=

4

5

，a₄=

8

9

．（3分）
（II）由a₁，a₂，a₃，a₄，猜想a_n=

2n-1

2n-1+1

（5分）
以下用数字归纳法证明：对任何的n∈N*，a_n=

2n-1

2n-1+1

证明：①当n=1时，由已知，左边=

1

2

，右边=

1

1+1

=

1

2

，所以等式成立．（7分）
②假设当n=k（k∈N*）时等式成立，即a_k=

2k-1

2k-1+1

，（8分）
则n=k+1时，a_k+1=

2ak

ak+1

=

2×

2k-1

2k-1+1

2k-1

2k-1+1

+1

=

2k

2k-1+2k-1+1

=

2k

2k+1

=

2(k+1)-1

2(k+1)-1+1

．
所以当n=k+1时，猜想也成立．（12分）
根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=2xx+1，且a1=12，an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．（I）计..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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