已知y=f（x）满足f（n-1）=f（n）-lgan-1（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存在实数α、β使f（n）=（αn2+βn-1）lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：已知y=f（x）满足f（n-1）=f（n）-lgan-1（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知y=f（x）满足f（n-1）=f（n）-lga^n-1（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存在实数α、β使f（n）=（αn²+βn-1）lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f（n）=f（n-1）+lga^n-1，令n=2，
则f（2）=f（1）+f（a）=-lga+lga=0．
又f（1）=-lga，
∴

α+β=0

2α+4β=1

∴

α=

1

2

β=-

1

2

∴f（n）=（

1

2

n²-

1

2

n-1）lga．
证明：（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时成立，即f（k）=（

1

2

k²-

1

2

k-1）lga，
则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+lga^k=f（k）+klga=（

1

2

k²-

1

2

k-1+k）lga=[

1

2

（k+1）²-

1

2

（k+1）-1]lga．
∴当n=k+1时，等式成立．
综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=

1

2

，β=-

1

2

，使f（n）=（αn²+βn-1）lga对任意n∈N*都成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知y=f（x）满足f（n-1）=f（n）-lgan-1（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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