已知数列{an}是各项均为为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2n-1=12a2n，n∈N*．数列{bn}满足bn=2n-1，n为奇数12an-1，n为偶数，Tn为数列{bn}的前n项和．（I）求an，bn；（Ⅱ）试-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}是各项均为为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}是各项均为为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足S_2n-1=

1

2

a

2n

，n∈N*．数列{b_n}满足b_n=

2n-1，n为奇数

1

2

an-1，n为偶数

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求a_n，b_n；
（Ⅱ）试比较T_2n与2n²+

n

3

的大小．

试题来源：潍坊二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
在S_2n-1=

1

2

an2中，令n=1，2，得

a12=2S1

a22=2S3

即

a12=2a1

(a1+d)2=2(3a1+3d)

…2分
解得a₁=2，d=4，d=-2（舍去），
∴a_n=4n-2…4分
∴b_n=

2n-1，n为奇数

2n-3，n为偶数

…5分
（Ⅱ）T_2n=1+2×2-3+2²+2×4-3+2⁴+…+2^2n-2+2×2n-3…9分
=1+2²+2⁴+…+2^2n-2+4（1+2+…+n）-3n
=

1-4n

1-4

+4?

n(n+1)

2

-3n
=

4n

3

-

1

3

+2n²-n…8分
∴T_2n-（2n²+

n

3

）=

1

3

（4ⁿ-4n-1），
当n=1时，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=-

1

3

＜0；
当n=2时，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=

7

3

＞0；
当n=3时，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=

51

3

＞0；
…
猜想当n≥2时，T_2n＞2n²+

n

3

，即n≥2时，4ⁿ＞4n+1．
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，4²=16，4×2+1=9，16＞9，成立；
②假设当n=k（k≥2）时成立，即4^k＞4k+1．
则当n=k+1时，4^k+1=4?4^k＞4（4k+1）=16k+4＞4k+5=4（k+1）+1，
∴n=k+1时成立．
由①②得，当n≥2时，4ⁿ＞4n+1成立…11分
综上，当n=1时，T_2n＜2n²+

n

3

，
当n≥2时，T_2n＞2n²+

n

3

…12分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}是各项均为为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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