已知P为椭圆9x2+2y2=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且PM=2MQ，设点M的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m与曲线E有两个不同的交-数学试题及答案

1、试题题目：已知P为椭圆9x2+2y2=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

已知P为椭圆9x²+2y²=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且

PM

=2

MQ

，设点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与曲线E有两个不同的交点A、B，且

OA

?

OB

＞

2

3

，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设点P（x₀，y₀）是椭圆上一点，
则Q（x₀，0），M（x，y），

PM

=(x-x0，y-y0)，

MQ

=(x0-x，-y)．
∵

PM

=2

MQ

，（1分）
∴

x-x0=2(x0-x)

y-y0=-2y.

∴

x0=x

y0=3y

即点P的坐标为（x，3y）．（3分）
点P在椭圆上，代入椭圆方程得：9x²+18y²=18．
即曲线E的方程为x²+2y²=2．（5分）
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=x+m与9x²+18y²=18联立

y=x+m

x2+2y2=2.

去y，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=（4m）²-12（2m²-2）＞0，解得0≤m²＜3．
x1+x2=-

4m

3

，x1?x2=

2m2-2

3

．（7分）
由

OA

?

OB

＞

2

3

得x1?x2+y1?y2＞

2

3

．
而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）?（x₂+m）
=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=2×

2m2-2

3

+m(-

4m

3

)+m2=m2-

4

3

（10分）
∴m2-

4

3

＞

2

3

，即m²＞2，又0≤m²＜3，
∴2＜m²＜3．
∴实数m的取值范围是(-

3

， -

2

)∪(

2

，

3

)．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知P为椭圆9x2+2y2=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

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