已知函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，（1）若m=-2，求y=f（x）在（2，-3）处的切线方程；（2）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，（1）若m=-2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，（1）若m=-2，求y=f（x）在（2，-3）处的切线方程；（2）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）m=-2时，f（x）=-2x³+3x²+1，
∴f′（x）=-6x²+6x，
∴y=f（x）在（2，-3）处的切线方程的斜率k=f′（2）=-12，
y=f（x）在（2，-3）处的切线方程为y+3=-12（x-2），
即12x+y-21=0．…5分
（2）∵f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，
∴f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6，
∵当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，
∴f′（x）＞3m，即mx²-2（m+1）x+2＞0．…6分
又m＜0
所以x2-

2

m

(m+1)x+

2

m

＜0
即x2-

2

m

(m+1)x+

2

m

＜0，x∈[-1，1]
①设g(x)=x2-2(1+

1

m

)x+

2

m

，
其函数开口向上，由题意知①式恒成立，…8分
所以

g(-1)＜0

g(1)＜0

?

1+2+

2

m

+

2

m

＜0

-1＜0

，
解之得-

4

3

＜m，又m＜0，…11分
所以-

4

3

＜m＜0，
即m的取值范围为(-

4

3

，0)．…12分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，（1）若m=-2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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