已知a∈R，函数f(x)=ax+lnx-1，g(x)=(lnx-1)ex+x（其中e为自然对数的底）．（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的-数学试题及答案

1、试题题目：已知a∈R，函数f(x)=ax+lnx-1，g(x)=(lnx-1)ex+x（其中e为自然对数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知a∈R，函数f(x)=

a

x

+lnx-1，g(x)=(lnx-1)

e

x

+x（其中e为自然对数的底）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在求出x₀的值，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=

a

x

+x+lnx-1∴f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，令f′（x）=0得，x=a，
①若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，当x∈（a，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e）上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna．
②若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以当x=e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值

a

e

．；
综上所述，当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna，当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值

a

e

．；
（2）不存在．证明如下
g(x)=(lnx-1)

e

x

+x，x∈（0，e]，
∴g′（x）=

1

x

?e^x+（lnx-1）e^x+1=（

1

x

+lnx-1）e^x+1
由（1）知，当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx-1，此时f（x）在区间（0，e]上取得最小值ln1=0，即

1

x

+lnx-1≥0，而e^x＞0，所以g′（x）≥1＞0，
又曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直，等价于g′（x₀）=0有实数根，而g′（x）＞0，所以方程g′（x₀）=0无实数根，
故不存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a∈R，函数f(x)=ax+lnx-1，g(x)=(lnx-1)ex+x（其中e为自然对数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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