已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x3+mx2+（1-m）x．（I）当m=2时，求f（x）的解析式；（II）设曲线y=f（x）在x=x0处的切线斜率为k，且对于任意的x0∈[-1，1]-1≤k≤9，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x3+mx2+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
（I）当m=2时，求f（x）的解析式；
（II）设曲线y=f（x）在x=x₀处的切线斜率为k，且对于任意的x₀∈[-1，1]-1≤k≤9，求实数m的取值范围．

试题来源：海淀区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．
当x＞0时，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
当x＜0时，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x³+mx²-（1-m）x）=2x³-mx²+（1-m）x∴f(x)=

2x3+mx2+(1-m)x(x≥0)

2x3-mx2+(1-m)x(x＜0)

．
当m=2时，∴f(x)=

2x3+2x2-x，(x≥0)

2x3-2x2-x(x＜0)

（Ⅱ）由（I）得：∴f′(x)=

6x2+2mx+(1-m)，(x≥0)

6x2-2mx+(1-m)，(x＜0)

曲线y=f（x）在x=x₀处的切线斜率，对任意的x₀∈[-1，1]，总能不小于-1且不大于9，
则在任意x₀∈[-1，1]时，-1≤f'（x）≤9恒成立，
∵f'（x）是偶函数
∴对任意x₀∈（0，1]时，-1≤f'（x₀）≤9恒成立
1⁰当-

m

6

≤0时，由题意得

f′(0)≥-1

f′(1)≤9

∴0≤m≤2
2⁰当0＜-

m

6

≤1时
∴

f′(-

m

6

) ≥-1

f′(0)≤9

∴-6≤m＜0
3⁰当-

m

6

＞1时∴

f′(0)≤9

f′(1)≥-1

∴-8≤m＜-6
综上：-8≤m≤2
∴实数m的取值范围是{m|-8≤m≤2}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x3+mx2+..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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