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1、试题题目：已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(
π
2
)=1．
（1）求f(
π
4
)及f(
3π
2
)的值；
（2）求证：f（x）为奇函数且是周期函数．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的奇偶性、周期性



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=
π
4
，y=
π
4
，得f(
π
4
+
π
4
)+f(
π
4
-
π
4
)=2f(
π
4
)cos
π
4
，
即f(
π
2
)+f(0)=
2
f(
π
4
)，…（3分）
又已知f(0)=0，f(
π
2
)=1，
所以f(
π
4
)=
2
2
．…（4分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=π，y=
π
2
，得f(π+
π
2
)+f(π-
π
2
)=2f(π)cos
π
2
，
即f(
3π
2
)+f(
π
2
)=0，…（7分）
又已知f(
π
2
)=1，
所以f(
3π
2
)=-1．…（8分）
证明：（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=0，
得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，
又已知f（0）=0，
所以f（y）+f（-y）=0，
即f（-y）=-f（y），
f（x）为奇函数．…（11分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取y=
π
2
，得f(x+
π
2
)+f(x-
π
2
)=0，
于是有f(x+
3π
2
)+f(x+
π
2
)=0，
所以f(x+
3π
2
)=f(x-
π
2
)，
即f（x+2π）=f（x），
f（x）是周期函数．…（14分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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