已知函数f(x)=1x-log21+x1-x，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1x-log21+x1-x，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）x须满足

x≠0

1+x

1-x

＞0

，
由

1+x

1-x

＞0得-1＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1）．
（2）因为函数f（x）的定义域关于原点对称，
且对定义域内的任意x，
有f(-x)=-

1

x

-log2

1-x

1+x

=-(

1

x

-log2

1+x

1-x

)=-f(x)，
所以f（x）是奇函数．
研究f（x）在（0，1）内的单调性，
任取x₁、x₂∈（0，1），且设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1

x1

-log2

1+x1

1-x1

-

1

x2

+log2

1+x2

1-x2

=(

1

x1

-

1

x2

)+[log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)]
由

1

x1

-

1

x2

＞0，log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)＞0，
得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（0，1）内单调递减，
由于f（x）是奇函数，所以f（x）在（-1，0）内单调递减．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1x-log21+x1-x，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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