设x=-1是f（x）=（x2+ax+b）e2-x（x∈R）的一个极值点，（1）求a与b的关系式（用a表示b）并求f（x）的单调区间（2）是否存在实数m，使得对任意a∈（-2，-1）及λ1λ2∈[-2，1]总有|f（λ1）-f（λ2）|＜[-数学试题及答案

1、试题题目：设x=-1是f（x）=（x2+ax+b）e2-x（x∈R）的一个极值点，（1）求a与b的关系..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

设x=-1是f（x）=（x²+ax+b）e^2-x（x∈R）的一个极值点，
（1）求a与b的关系式（用a表示b）并求f（x）的单调区间
（2）是否存在实数m，使得对任意a∈（-2，-1）及λ₁λ₂∈[-2，1]总有|f（λ₁）-f（λ₂）|＜[（m+2）a+1]e³恒成立，若存在求出m的范围．若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=-[x²+（a-2）x+b-a]e^2-x
由f'（-1）=0得b=2a-3…（2分）∴f（x）=（x²+ax+2a-3）e^2-x

f′(x)=-[x2+(a-2)x+a-3]e2-x=-(x+1)(x+a-3)e2-x

令f′(x)=0得x1=-1，x2=3-a

由于x=-1是f（x）的极值点，故x₁≠x₂，即a≠4
①当a＜4时，x₂＞x₁，故[-1，3-a]为f（x）的单调增区间；（-∞，-1]、[3-a，+∞）为f（x）
的单调减区间．…（4分）
②当a＞4时，x₂＜x₁，故[[3-a，-1]为f（x）的单调增区间；（-∞，3-a]、[-1，+∞）为f（x）的单调减区间…（6分）
（2）由-2＜a＜-1得4＜3-a＜5，从而知f（x）在[-2，-1]单调递减，在[-1，1]上单调递增，
f（x）的值域为[f（-1），max{f（-2），f（1）}]=[（a-2）e³，e⁴]…（8分）
假设存在实数m满足题设，依题意有：[（m+2）a+1]e³＞e⁴-（a-2）e³恒成立，
即（m+3）a-e-1＞0恒成立，…（12分）
令g（a）=（m+3）a-e-1，
则有

g(-2)≥0

g(-1)≥0

，解得

m≤-

1

2

(e+7)

m≤-4-e

，即m≤-4-e
故存在实数m∈（-∞，-4-e]满足题设．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x=-1是f（x）=（x2+ax+b）e2-x（x∈R）的一个极值点，（1）求a与b的关系..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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