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1、试题题目：已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知定义域为[0，1]的函数f （x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f （x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
4
，
1
2
]时，f（x）＜2x．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的奇偶性、周期性



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）令x1=x2=0，依条件③可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由条件（1）得f（0）≥0 故f（0）=0（4分）
（2）任取0≤x1＜x2≤1可知x2-x1∈（0，1]，则
f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1）
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1因此当x=1时，f（x）取最大值1．（9分）
（3）证明：当x∈(
1
2
，1]时，f（x）≤f（1）=1
当x∈(
1
4
，
1
2
]时，
1
2
＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（x）≤
1
2
f（2x）≤
1
2
＜2x   即f（x）＜2x．（14分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。


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