已知函数f（x）=ax3+bx+c为R上的奇函数，且当x=1时，有极小值-1；函g(x)=-12x3+32x+t-3t(t∈R，t≠0)（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），求t的取值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx+c为R上的奇函数，且当x=1时，有极小值-1；函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx+c为R上的奇函数，且当x=1时，有极小值-1；函g(x)=-

1

2

x3+

3

2

x+t-

3

t

(t∈R，t≠0)
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），求t的取值范围．

试题来源：宁波模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（-x）=-f（x）得：c=0，
由

f′(1)=3a+b=0

f(1)=a+b=-1

?

a=

1

2

b=-

3

2

∴f(x)=

1

2

x3-

3

2

x
经检验在x=1时，f（x）有极小值-1，
∴f(x)=

1

2

x3-

3

2

x
（2）设h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x-t+

3

t

，则h'（x）=3x²-3，
令h'（x）=3x²-3＞0得x＞1或x＜-1，
令h'（x）=3x²-3＜0得-1＜x＜1
所以h（x）在区间[-2，-1]及[1，2]上的增函数，在区间[-1，1]上的减函数，
∴h(x)min=min{h(-2)，h(1)}=h(1)=-2-t+

3

t

使对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），则h(1)=-2-t+

3

t

＞0
解得t＜-3或0＜t＜1∴t∈（-∞，-3）∪（0，1）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx+c为R上的奇函数，且当x=1时，有极小值-1；函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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