已知函数f(x)=loga2m-1-mxx+1(a＞0，a≠1)是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=loga2m-1-mxx+1(a＞0，a≠1)是奇函数，定..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=loga

2m-1-mx

x+1

(a＞0，a≠1)是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．
（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当x∈A=[a，b）（A?D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．

试题来源：黄浦区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）∵y=f（x）是奇函数，
∴对任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即loga

2m-1-mx

1+x

+loga

2m-1+mx

1-x

=0．
化简此式，得（m²-1）x²-（2m-1）²+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），
必有

m2-1=0

(2m-1)2-1=0

，解得m=1．
∴f(x)=loga

1-x

1+x

，D=(-1，1)．
（2）当0＜a＜1时，函数f(x)=loga

1-x

1+x

在D=(-1，1)上是单调增函数．
理由：令t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

．
易知1+x在D=（-1，1）上是随x增大而增大，

2

1+x

在D=（-1，1）上是随x增大而减小，
故t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

在D=（-1，1）上是随x增大而减小
于是，当0＜a＜1时，函数f(x)=loga

1-x

1+x

在D=(-1，1)上是单调增函数．
（3）∵x∈A=[a，b）（A?D，a是底数）
∴0＜a＜1，a＜b≤1．
∴由（2）知，函数f(x)=loga

1-x

1+x

在A上是增函数，即f(a)=1，loga

1-a

1+a

=1，
解得a=

2

-1(舍去a=-

2

-1)．
若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为[1，loga

1-b

1+b

)，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，
∴必有b=1．
因此，所求实数a、b的值是a=

2

-1、b=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=loga2m-1-mxx+1(a＞0，a≠1)是奇函数，定..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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