已知函数f（x）=aln（x+1）-x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式f(p+1)-f(q+1)p-q＞1恒成立，则实数a的取值范围是_____

1、试题题目：已知函数f（x）=aln（x+1）-x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，则实数a的取值范围是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由于

f(p+1)-f(q+1)

p-q

表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
因实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．
∵不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，∴f′（x）=

a

x+1

-2x＞1 在（1，2）内恒成立．
即 a＞2x²+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故 x=2时，y=2x²+3x+1 在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15，
故答案为[15，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=aln（x+1）-x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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