对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）-数学试题及答案

1、试题题目：对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”；定义：（2）设x₀为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x₀，f（x₀））对称．
（1）己知f（x）=x³-3x²+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，得：f′（x）=3x²-6x+2，∴f″（x）=6x-6．
由f″（x）=0，即 6x-6=0．∴x=1，又 f（1）=2，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．
（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2）．
而f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+2（1+x）+2+（1-x）³-3（1-x）²+2（1-x）+2
=2+6x²-6-6x²+4+4=4=2f（1），
由定义（2）知：f（x）=x³-3x²+2x+2关于点（1，2）对称．
（3）一般地，三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d （a≠0）的“拐点”是（-

b

3a

，f（-

b

3a

）），它就是f（x）的对称中心．
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数；都对．）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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