已知函数f（x）=（x2-ax）ex（a∈R）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间．（2）若函数f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围．（3）函数f（x）可否为R上的单调函数，若是，求出a的取值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x2-ax）ex（a∈R）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x²-ax）e^x（a∈R）
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间．
（2）若函数f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围．
（3）函数f（x）可否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．

试题来源：广州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=2时，f（x）=（x²-2x）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，令f′（x）＜0即（x²-2）e^x＜0，
∴x²-2＜0，∴-

2

＜x＜

2

，∴函数f（x）的单调递减区间是（-

2

，

2

）．
（2）f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x，
∵f（x）在（-1，1）上单调递减，∴x∈（-1，1）时，f′（x）≤0恒成立，
即x∈（-1，1）时，x²+（2-a）x-a≤0恒成立．即a≥

x2+2x

x+1

=x+1-

1

x+1

对一切x∈（-1，1）恒成立，令g(x)=x+1-

1

x+1

，g′(x)=1+

1

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（-1，1）上是增函数．∴g（x）≤1+1-

1

1+1

=

3

2

，a≥

3

2

，
即a的取值范围是[

3

2

，+∞）．
（3）∵f′（x）=[x²+（2-a）x-a]e^x，设t=x²+（2-a）x-a，
△=（2-a）²+4a=a²+4＞0，∴x∈R时，t不恒为正值，也不恒为负值．
即f′（x）的值不恒正，也不恒负，故f（x）在R上不可能单调．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x2-ax）ex（a∈R）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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