已知函数f(x)=a3x3-a+12x2+x+b，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=a3x3-a+12x2+x+b，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性．

试题来源：重庆模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f'（x）=ax²-（a+1）x+1，
由导数的几何意义得f'（2）=5，于是a=3．
由切点P（2，f（2））在直线y=5x-4上可知2+b=6，解得b=4．
所以函数f（x）的解析式为f（x）=x³-2x²+x+4．
（Ⅱ）f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-

1

a

)(x-1)，
当0＜a＜1时，

1

a

＞1，函数f（x）在区间（-∞，1）及(

1

a

，+∞)上为增函数；
在区间(1，

1

a

)上为减函数；
当a=1时，

1

a

=1，函数f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数；
当a＞1时，

1

a

＜1，函数f（x）在区间(- ∞，

1

a

)及（1，+∞）上为增函数；
在区间(

1

a

，1)上为减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a3x3-a+12x2+x+b，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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