已知函数f（x）满足f（x）=x3+f′(23)x2-x+c（其中f′(23)为f（x）在点x=23处的导数，c为常数）．若函数f（x）的极小值小于0，则c的取值范围是_____

1、试题题目：已知函数f（x）满足f（x）=x3+f′(23)x2-x+c（其中f′(23)为f（x）在点x=2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）满足f（x）=x3+f′(

2

3

)x2-x+c（其中f′(

2

3

)为f（x）在点x=

2

3

处的导数，c为常数）．若函数f（x）的极小值小于0，则c的取值范围是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由f（x）=x³+f′（

2

3

）x²-x+C，
得f′（x）=3x²+2f′（

2

3

）x-1．
取x=

2

3

，得f′（

2

3

）=3×（

2

3

）²+2f′（

2

3

）×（

2

3

）-1，
解之，得f′（

2

3

）=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+C．
从而f′（x）=3x2-2x-1=3（x+

1

3

）（x-1），列表如下：

x

（-∞，-

1

3

）

-

1

3

（-

1

3

，1）

1

（1，+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

有极大值

↘

有极小值

↗

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-

1

3

）和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是（-

1

3

，1）．
∴函数f（x）的极小值为f（1）=-1+C，由题意得-1+C＜0，
∴C＜1．
则c的取值范围是（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）满足f（x）=x3+f′(23)x2-x+c（其中f′(23)为f（x）在点x=2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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