已知f（x）=ax2-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设a＞1e2，g(x)=-5+lnxa，存在x1，x2∈（0，e]，使得|f（x1）--数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax2-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．（1）若f（x）在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ax²-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设a＞

1

e2

，g(x)=-5+ln

x

a

，存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ） f′(x)=2ax-

2

x

=

2ax2-2

x

，x∈（0，e]．
由已知f'（1）=2a-2=0，解得a=1，此时f′(x)=

2x2-2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

．
在区间（0，1）上，f^′（x）＜0；在区间（1，e）上，f^′（x）＞0．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值．
因此a=1时适合题意．
（Ⅱ） f′(x)=2ax-

2

x

=

2ax2-2

x

，x∈（0，e]．
1）当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数．
2）当a＞0时，f′(x)=

2a(x+

a

)(x-

a

)

x

．
①若

a

＜e，即a＞

1

e2

，
则f（x）在(0，

a

)上是减函数，在(

a

，e]上是增函数；
②若

a

≥e，即0＜a≤

1

e2

，则f（x）在（0，e]上是减函数．
综上所述，当a≤

1

e2

时，f（x）的减区间是（0，e]，
当a＞

1

e2

时，f（x）的减区间是(0，

a

)，增区间是(

a

，e]．
（Ⅲ）当a＞

1

e2

时，由（Ⅱ）可知：当x=

a

时，函数f（x）取得最小值，且f(

a

)=1+lna．
∵g（x）=-5+ln

x

a

，∴函数g（x）在区间（0，e]上单调递增．
∴当x=e时，函数g（x）取得最大值，且g（x）_max=g（e）=-4-lna．
∵存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，
∴必有对于x∈（0，e]，|f（x）_min-g（x）_max|＜9．又∵a＞

1

e2

，
联立得

|1+lna-(-4-lna)|＜9

a＞

1

e2

，解得

1

e2

＜a＜e2．
∴a的取值范围是(

1

e2

，e2)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax2-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．（1）若f（x）在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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