设函数f(x)=12ax2-lnx(x＞0)，其中a为非零常数，（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间．（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=12ax2-lnx(x＞0)，其中a为非零常数，（1）当a=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

1

2a

x2-lnx(x＞0)，其中a为非零常数，
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间．
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f(x)=

1

2a

x2-lnx(x＞0)，其中a为非零常数，
当a=1时，f（x）=

1

2

x2-lnx
f′(x)=x-

1

x

＞0，
∴当x＞1时，函数是一个增函数，
即函数的递增区间是（1，+∞）
（2）当x属于[1，2]，lnx＞0，
当a＞0时，命题可转化为对于任意x属于[1，2]，都有a＜

x2

2(2+lnx)

令g（x）=

x2

2(2+lnx)

，对函数求导得g′(x)=

6x+4xlnx

4(2+lnx)2

=0
∴x=e-

3

2

时，导数等于零，
经验证这是函数的极小值，
在这个闭区间上也是最小值，
∴g（x）的最小值是g（e-

3

2

）=e^-3
即当a为大于0常数且小于e^-3时，不等式f（x）＞2恒成立，
当a＜0时，

1

2a

＞

lnx+2

x2

在x属于[1，2]时，不合题意．
综上可知a的取值范围是（0，e^-3）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=12ax2-lnx(x＞0)，其中a为非零常数，（1）当a=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：