已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）证明：(1+19)(1+181)…(1+132n)＜e(n∈N*，e为自然对数的底数）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）证明：(1+

1

9

)(1+

1

81

)…(1+

1

32n

)＜

e

(n∈N*，e为自然对数的底数）

试题来源：宣武区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′(x)=

2x

1+x2

+a，∵x=0使f（x）的一个极值点，则f'（0）=0，
∴a=0，验证知a=0符合条件．
（2）∵f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

①若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
②若

a＜0

△≤0

得，当a≤-1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在R上单调递减．
③若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0
∴

-1+

1-a2

a

＜x＜

-1-

1-a2

a

再令f'（x）＜0，可得x＞

-1-

1-a2

a

或x＜

-1+

1-a2

a

∴f(x)在(

-1+

1-a2

a

，

-1-

1-a2

a

)上单调递增，
在(-∞，

-1+

1-a2

a

)和(

-1-

1-a2

a

，+∞)上单调递减
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
若-1＜a＜0时，f(x)在(

-1+

1-a2

a

，

-1-

1-a2

a

)上单调递增(-∞，

-1+

1-a2

a

)和(

-1-

1-a2

a

，+∞)上单调递减；
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0
∴ln（1+x²）＜x，∴ln[（1+

1

9

）（1+

1

81

）…（1+

1

32n

）]=ln（1+

1

9

）+ln（1+

1

81

）+…+ln（1+

1

32n

）
＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1

3

(1-

1

3n

)

1-

1

3

=

1

2

（1-

1

3n

）＜

1

2

，∴（1+

1

9

）（1+

1

81

）…（1+

1

32n

）＜e

1

2

=

e

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：