已知函数f（x）=（a+1a）lnx+1x-x（a＞1）．（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（a+1a）lnx+1x-x（a＞1）．（l）试讨论f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（a+

1

a

）lnx+

1

x

-x（a＞1）．
（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f （x₂ ）），使得曲线y=f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x₁+x₂＞

6

5

．

试题来源：东城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知，得x＞0，f′(x)=

a+

1

a

x

-

1

x2

-1=-

x2-(a+

1

a

)x+1

x2

=-

(x-a)(x-

1

a

)

x2

．
由f′（x）=0，得x1=

1

a

，x2=a．因为a＞1，所以0＜

1

a

＜1，且a＞

1

a

．
所以在区间（0，

1

a

）上，f′（x）＜0；在区间（

1

a

，1）上，f′（x）＞0．
故f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，1）上单调递增．
证明：（2）由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）．
即

a+

1

a

x1

-

1

x12

-1=

a+

1

a

x2

-

1

x22

-1，所以a+

1

a

=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，a∈[3，+∞）．
因为x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂，所以x1x2＜(

x1+x2

2

)2恒成立，
所以

1

x1x2

＞

4

(x1+x2)2

，又x₁+x₂＞0，所以a+

1

a

=

x1+x2

x1x2

＞

4

x1+x2

，整理得x1+x2＞

4

a+

1

a

，
令g（a）=

4

a+

1

a

，因为a∈[3，+∞），所以a+

1

a

单调递增，g（a）单调递减，
所以g（a）在[3，+∞）上的最大值为g（3）=

6

5

，
所以x1+x2＞

6

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（a+1a）lnx+1x-x（a＞1）．（l）试讨论f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：