已知函数f（x）=2ax3-3ax2+1，g（x）=-a4x+32（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≤0时，若任意给定的x0∈[0，2]，在[0.2]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2ax3-3ax2+1，g（x）=-a4x+32（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2ax³-3ax²+1，g（x）=-

a

4

x+

3

2

（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a≤0时，若任意给定的x₀∈[0，2]，在[0.2]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

试题来源：东城区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）求导函数可得f′（x）=6x（x-1）------------------------（2分）
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
故函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞）；单调递减区间是（0，1）．-----------（6分）
（II） ①当a=0时，f(x)=1，g(x)=

3

2

，显然不可能满足题意；------------（7分）
②当a＜0时，f'（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	0	+	0	-
f（x）	1		极大值1-a		1+4a

------------------------------（9分）
又因为当a＜0时，g（x）=-

a

4

x+

3

2

在[0，2]上是增函数，
∴对任意x∈[0，2]，g(x)∈[

3

2

，-

a

2

+

3

2

]，-------------------------------（11分）
由题意可得-

a

2

+

3

2

＜1-a，解得a＜-1．
综上，a的取值范围为（-∞，-1）．---------（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2ax3-3ax2+1，g（x）=-a4x+32（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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