已知函数f（x）=ex（ax2-2x-2），a∈R且a≠0．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（2）当a＞0时，求函数f（|sinx|）的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex（ax2-2x-2），a∈R且a≠0．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（|sinx|）的最小值．

试题来源：长春一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意得：f'（x）=（e^x）'?（ax²-2x-2）+e^x?（ax²-2x-2）'
=ex(ax2-2x-2)+ex(2ax-2)=aex(x-

2

a

)(x+2)；（3分）
（1）由曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，
结合导数的几何意义得f'（2）=0，
即a?e2?(2-

2

a

)(2+2)=4ae2?

2a-2

a

=0，
解得a=1；（6分）
（2）设|sinx|=t（0≤t≤1），
则只需求当a＞0时，函数y=f（t）（0≤t≤1）的最小值．
令f'（x）=0，解得x=

2

a

或x=-2，而a＞0，即

2

a

＞-2．
从而函数f（x）在（-∞，-2）和(

2

a

，+∞)上单调递增，在(-2，

2

a

)上单调递减．
当

2

a

≥1时，即0＜a≤2时，函数f（x）在[0，1]上为减函数，y_min=f（1）=（a-4）e；
当0＜

2

a

＜1，即 a＞2时，函数f（x）的极小值，
即为其在区间[0，1]上的最小值，ymin=f(

2

a

)=-2e

2

a

．
综上可知，当0＜a≤2时，函数f（|sinx|）的最小值为（a-4）e；
当a＞2时，函数f（|sinx|）的最小值为-2e

2

a

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex（ax2-2x-2），a∈R且a≠0．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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