已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），其中a为常数．（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），其中a为常数．（1）若x=l是函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=

x

2

(ax-3)=ax³-3x²，∴f′（x）=3ax²-6x，
∵x=l是函数f（x）的一个极值点，∴f′（1）=0，
解得，a=2，此时f′（x）=6（x²-x）=6x（x-1），
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（-∞，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴a=2．
（2）由题意得g（x）=f（x）+f′（x）=ax³+3（a-1）x²-6x，a＞0且x∈[0，2]，
∴g′（x）=3ax²+6（a-1）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，
令g′（x）=0，即ax²+2（a-1）x-2=0，
且△=4（a-1）²+8a=4a²+4＞0，
∴方程ax²+2（a-1）x-2=0有两个不同的根，设为x₁，x₂，则
x₁x₂=-

2

a

＜0，不妨设x₁＜0＜x₂，
当0＜x₂＜2时，g（x₂）为极小值，则g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
当x₂≥2时，则g（x）在[0，2]上是单调减函数，
∴g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0），
综上得，g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
∵g（x）在x=0处取得最大值，∴g（0）≥g（2），
即0≥20a-24，得a≤

6

5

，
∵a＞0，∴a∈（0，

6

5

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），其中a为常数．（1）若x=l是函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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