已知函数f（x）=-x3+ax2-4（1）若f（x）在x=43处取得极值，求函数f（x）的单调区间．（2）若存在x0∈（0，+∞），时，使得不等式f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-x3+ax2-4（1）若f（x）在x=43处取得极值，求函数f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-x³+ax²-4
（1）若f（x）在x=

4

3

处取得极值，求函数f（x）的单调区间．
（2）若存在x₀∈（0，+∞），时，使得不等式f（x₀）＞0成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=-3x²+2ax，由题意得 f′(

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3

)=0，解得a=2，此时f′(x)=-3x(x-

4

3

)，
可知函数在（0，

4

3

）上，f′（x）＞0，函数单调增，在（-∞，0），(

4

3

，+∞)上，f′（x）＜0，函数单调减，
所以函数单调增区间为（0，

4

3

），函数单调减区间为（-∞，0），(

4

3

，+∞)．
（2）根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式 a＞x+

4

x2

在（0，+∞）上有解即可．
令 g(x)=x+

4

x2

，只需要a＞g（x）_min
而 g(x)=x+

4

x2

=

x

2

+

x

2

+

4

x2

≥3

3

x

2

?

x

2

?

4

x2

=3，当且仅当

x

2

=

4

x2

，即x=2时“=”成立．
故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-x3+ax2-4（1）若f（x）在x=43处取得极值，求函数f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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