已知函数f（x）=lnx-2x，（K是常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）＜x恒成立，求K的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-2x，（K是常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-2x，（K是常数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x恒成立，求K的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x）=lnx-2kx，
得f′(x)=

1

x

-2k…（1分）
∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴当k≤0时，f′(x)=

1

x

-2k＞0，f（x）在（0，+∞）是增函数． …（3分）
当k＞0时，由

1

x

-2k＞0可得x＜

1

2k

，
∴f（x）在（0，

1

2k

）是增函数，在（

1

2k

，+∞）是减函数． …（5分）
综上，当k≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当K＞0时，f（x）的单调增区间是（0，

1

2k

），单调减区间是（

1

2k

，+∞）．…（6分）
（2）由f（x）＜x恒成立，得lnx-2kx-x＜0恒成立，x∈（0，+∞）．
即2kx＞lnx-x，
∴2k＞

lnx

x

-1恒成立． …（8分）
设g(x)=

lnx

x

-1，则g′(x)=

1-lnx

x2

，
令g′(x)=

1-lnx

x2

=0得x=e．
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞e时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减． …（10分）
∴g（x）=

lnx

x

-1在x=e时取得极大值g(e)=

1

e

-1，
且为g（x）在（0，+∞）上的最大值．
∴2k＞

1

e

-1，k＞

1-e

2e

x₂，y₂…（11分）
∴k的取值范围是(

1-e

2e

，+∞)．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-2x，（K是常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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