已知函数f（x）=x+a2x，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（I）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，都存在x2∈[1，e]（其中为e自然对数的底数）使得f（x1-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x+a2x，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（I）若x=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x+

a2

x

，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（I）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]（其中为e自然对数的底数）使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵h(x)=2x+

a2

x

+lnx，其定义域为（0，+∞），…（1分）
∴h′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

，

x∈(0，+∞)

…（2分）
∵x=1是函数h（x）的极值点，
∴h'（1）=0，即3-a²=0
∵a＞0，∴a=

3

． …（4分）
经检验当a=

3

时，x=1是函数h（x）的极值点，
∴a=

3

…（5分）
（Ⅱ）对任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]使得f（x₁）＜g（x₂）
成立等价于f（x）_max＜g（x）_max…（6分）
当x∈[1，e]时，g′(x)=1+

1

x

＞0，
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数，
∴g（x）_max=g（e）=e+1…（7分）
f′(x)=1-

a2

x2

=

(x+a)(x-a)

x2

，x∈[1，e]，a＞0
①当0＜a≤1时，x∈[1，e]，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

≥0，
∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是增函数，
∴f(x)max=f(e)=e+

a2

e

e+

a2

e

＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立，满足题意； …（9分）
②当1＜a＜e时，若1≤x＜a，则f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＜0，
若a＜x≤e，则f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＞0
∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数，
而f（1）=1+a²，f(e)=e+

a2

e

a）f（1）＜f（e）即1＜a＜

e

时，
f(x)max=f(e)=e+

a2

e

，e+

a2

e

＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立；
b）f（1）≥f（e）即

e

≤a≤e时，
f（x）_max=f（1）=1+a²
此时，f（x）_max≥g（x）_max，不合题意； …（12分）
③当a≥e时，x∈[1，e]，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

≤0，
∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是减函数，
∴f（x）_max=f（1）=1+a²
此时，f（x）_max＞g（x）_max，不合题意； …（13分）
综上知，a的取值范围为(0，

e

)． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x+a2x，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（I）若x=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：