设函数f（x）=x-ln(1+x)1+x（1）令N（x）=（1+x）2-1+ln（1+x），判断并证明N（x）在（-1，+∞）上的单调性，并求N（0）；（2）求f（x）在定义域上的最小值；（3）是否存在实数m，n满足0≤m＜n，使得f-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x-ln(1+x)1+x（1）令N（x）=（1+x）2-1+ln（1+x），判断并证明..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x-

ln(1+x)

1+x

（1）令N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x），判断并证明N（x）在（-1，+∞）上的单调性，并求N（0）；
（2）求f（x）在定义域上的最小值；
（3）是否存在实数m，n满足0≤m＜n，使得f（x）在区间[m，n]上的值域也为[m，n]？
（参考公式：[ln（1+x）′]=

1

1+x

）

试题来源：汕头一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x＞-1时，N^′（x）=2x+2+

1

1+x

＞0（2分）
所以，N（x）在（-1，+∞）上是单调递增，N（0）=0（4分）
（2）f（x）的定义域是（-1，+∞）
f′(x)=1-

1-ln(x+1)

(1+x)2

=

N(x)

(1+x)2

当-1＜x＜0时，N（x）＜0，所以，f^′（x）＜0，
当x＞0时，N（x）＞0，所以，f^′（x）＞0，（8分）
所以，在（-1，0）上f（x）单调递减，在（0，+∞）上，f（x）单调递增，
所以，f_min=f（0）=0（10分）
（3）由（2）知f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，
若存在m，n满足条件，则必有f（m）=m，f（n）=n，（11分）
也即方程f（x）=x在[0，+∞）上有两个不等的实根m，n，
但方程f（x）=x，即

ln(x+1)

(x+1)

=0只有一个实根x=0，
所以，不存在满足条件的实数m，n．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x-ln(1+x)1+x（1）令N（x）=（1+x）2-1+ln（1+x），判断并证明..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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