f（x）=lnx-ax2，x∈（0，1]（1）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a范围；（2）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：f（x）=lnx-ax2，x∈（0，1]（1）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a范..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

f（x）=lnx-ax²，x∈（0，1]
（1）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a范围；
（2）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵y=f（x）在（0，1]上是增函数，所以f'（x）≥0在（0，1]上恒成立，
由f（x）=lnx-ax²，则f′(x)=

1

x

-2ax，即

1

x

-2ax≥0在（0，1]上恒成立，所以a≤

1

2x2

恒成立，
因为x∈（0，1]，所以

1

2x2

≥

1

2

，
所以得a≤

1

2

；
（2）f′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

若a≤0时，f′(x)=

1-2ax2

x

＞0
所以y=f（x）在（0，1]上单调递增，所以f（x）_max=f（1）=ln1-a=-a，
若a＞0，f′(x)=

-2a(x2-

1

2a

)

x

=

-2a(x-

1

2a

)(x+

1

2a

)

x

所以y=f（x）在（0，

1

2a

）上单调递增，在（

1

2a

，+∞）上单调递减，
①当

1

2a

≥1，即0＜a≤

1

2

时，f（x）_max=f（1）=-a
②当

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，f(x)max=f(

1

2a

)=ln

1

2a

-

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“f（x）=lnx-ax2，x∈（0，1]（1）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a范..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：