已知a＞0且a≠1，f(logax)=a(x2-1)x(a2-1)．试判断f（x）在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？并证明结论．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a＞0且a≠1，f(logax)=a(x2-1)x(a2-1)．试判断f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知a＞0且a≠1，f(logax)=

a(x2-1)

x(a2-1)

．
试判断f（x）在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？并证明结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

是增函数．证明如下：
设t=log_ax，则x=a^t，
∴f(t)=

a

a2-1

?

a2t-1

at

，
即f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)．
∴f(t)=

a

a2-1

(ax-a-x)．
∵f（x）的定义域为R，
设x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=

a

a2-1

?

(ax1-ax2)(1+ax1ax2)

ax1?ax2

．
∵a＞0，a≠1，
∴ax1ax2＞0，1+ax1ax2＞0．
若0＜a＜1，则ax1＞ax2，ax1-ax2＞0．
此时

a

a2-1

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
同理，若a＞1，则f（x₁）＜f（x₂）．
综上所述，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上单调递增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0且a≠1，f(logax)=a(x2-1)x(a2-1)．试判断f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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