定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b），（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）判断f（x）的单调性，并证明-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b），
（1）求f（0）的值；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）判断f（x）的单调性，并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b），所以令a=b=0，则有f（0）=f（0）?f（0），又f（0）≠0，所以f（0）=1．
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，所以只需证明当x＜0时，f（x）＞0即可．
当x＜0时，-x＞0，f（0）=f（x）?f（-x），因为f（-x）＞1，所以0＜f（x）＜1，
故对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）是增函数，证明如下
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=[f（x₂-x₁）-1]f（x₁），
由题意知f（x₂-x₁）＞1，f（x₁）＞0，所以f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．
所以f（x）在R上为增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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